Question

【题目】已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）在上是减函数（3）

【解析】试题分析：（1）由定义在实数集上的奇函数有列式求解，或直接由奇函数的定义得恒等式，由系数相等求解的值；（2）设， 且，可得，只需判断；（3）由函数的奇偶性和单调性，把给出的不等式转化为含有的一元二次不等式，分离参数后求二次函数的最值，即可实数的取值范围.

试题解析：（1）∵是定义在上的奇函数，

∴，∴，∴．

（2）， 在上是减函数．

证明：设， 且，

则，

∵，∴， ， ，

∴，

即，∴在上是减函数．　

（3）不等式

又是上的减函数，∴，

∴，对恒成立，

∴．

【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性及单调性的应用，以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.