Question

【题目】已知函数 ，
（1）求函数的图象在点 处的切线方程；
（2）当 时，求证： ；
（3）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： ,所以 ，切点为(0,0) ∴切线为y=x

（2）解：证明：令g(x)= f(x)+x2-x= ex-x-1 ,g(x)= ex-1=0 ∴x=0

所以x (-∞，0)时，g(x)<0, g(x)单调递减.x (0，+∞)时，g(x)>0, g(x)单调递增

∴g(x)min= g(0)=0 ∴g(x) 0 ∴f(x) -x2+x

（3）解：f(x) kx对任意的x (0,+ ∞)恒成立等价于k< 对任意的x (0,+ ∞)恒成立

令h(x)= , ∴h(x)= 由(2)知x (0,+ ∞)时ex-x-1>0

∴x (0,1)时&#xF06A;&#xF0A2;h(x)<0, (x)单调递减，x (1,+ ∞)时&#xF06A;&#xF0A2;h(x)>0, h(x)单调递增

∴h(x)min=h(1)=e-2 ∴k<e-2 ∴k的取值范围(-∞,e-2)

【解析】(1)求出原函数的导函数，得出 f ' ( 0 ) = 1 再求出f(0),由直线方程的点斜式得出结果。(2)根据题意构造 g(x) 对其求导，令导数值等于零求出极点进而可得出 g(x) 的单调性故可求出最小值，即可得证。(3)分离出k得到k与x的关系式,利用导数求出 g(x) 的最小值即可得到k<e-2。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．