Question

【题目】已知函数f（x）=x3-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e为自然对数的底数.

（I）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；

（II）设函数F（x）=-x[g（x）+x-2]，若F（x）在区间（m,m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；

（III）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x>0）. 若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）a=; （II）m=0或m=3; （III）a>.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函数F（x）的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m的值即可；
（Ⅲ）通过讨论a的范围求出函数f（x）的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a的范围即可．

试题解析：

（I）易得，f '（x）=3x2-3a，所以f '（1）=3-3a，

依题意，（3-3a）（-）=-1，解得a=；

（II）因为F（x）=-x[g（x）+x-2]=-x[（1-lnx）+x-2]=xlnx-x2+x,

则F' （x）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t（x）=lnx-x+2，

则t '（x）=-1=.

令t '（x）=0，得x=1.

则由t '（x）>0，得0<x<1，F '（x）为增函数；

由t '（x）<0，得x>1，F '（x）为减函数；

而F '（）=-2-+2=-<0，F '（1）=1>0.

则F '（x）在（0，1）上有且只有一个零点x1，

且在（0，x1）上F '（x）<0，F（x）为减函数；

在（x1，1）上F '（x）>0，F（x）为增函数.

所以x1为极值点，此时m=0.

又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,

则F '（x）在（3，4）上有且只有一个零点x2，

且在（3，x2）上F '（x）>0，F（x）为增函数；

在（x2，4）上F '（x）<0，F（x）为减函数.

所以x2为极值点，此时m=3.

综上m=0或m=3.

（III）（1）当x∈（0，e）时，g（x）>0，依题意，h（x）≥g（x）>0，不满足条件；

（2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e3-3ae+e，

①若f（e）=e3-3ae+e≤0，即a≥，则e是h（x）的一个零点；

②若f（e）=e3-3ae+e>0，即a<，则e不是h（x）的零点；

（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）<0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e,+∞）上零点的情况.

因为f '（x）=3x2-3a>3e2-3a，所以

①当a≤e2时，f '（x）>0，f（x）在（e，+∞）上单调递增.

又f（e）=e3-3ae+e，所以

（i）当a≤时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；

（ii）当<a≤e2时，f（e）<0，

又f（2e）=8e3-6ae+e≥8e3-6e3+e>0，

所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；

②当a>e2时，令f '（x）=0，得x=±.

由f '（x）<0，得e<x<；

由f '（x）>0，得x>；

所以f（x）在（e， ）上单调递减，在（，+∞）上单调递增.

因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，

f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，

所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；

综上，a>.