Question

【题目】已知幂函数(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）设函数，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(x)=x4；（2）(3，＋∞).

【解析】（1）∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

∴m2＋2m＋3>0，即m22m3<0，解得1<m<3.

又m∈Z，∴m=0,1,2，

而m=0,2时，f(x)=x3不是偶函数，m=1时，f(x)=x4是偶函数．

∴f(x)=x4.

（2）由（1）知f(x)=x4，则g(x)=x2＋2x＋c=(x＋1)2＋(c1)．

∴g(x)min= c1.

∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，

∴g(x)min>2，且x∈R，即c1>2，解得c>3.

故实数c的取值范围是(3，＋∞)．