Question

【题目】已知二次函数满足，．

求函数的解析式；

若关于x的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围；

若函数在区间内至少有一个零点，求实数m的取值范围

Answer 1

【答案】（1）f（x）=2x2-6x+2； （2）t＞10； （3）m＜-10或m≥-2.

【解析】

（1）用待定系数法设二次函数表达式，再代入已知函数方程化简即可得答案； （2）分离参数后求f(x)的最大值即可；（3）先求无零点时m的范围，再求补集．

（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+2，（a≠0）

∴a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=4x-4

∴2ax+a+b=4x-4，

∴a=2，b=-6

∴f（x）=2x2-6x+2；

（2）依题意t＞f（x）=2x2-6x+2在x∈[-1，2]上恒成立，

而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1，2]，

所以x=-1时，取最大值10，

t＞10；

（3）∵g（x）=f（x）-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-（6+m）x+2在区间（-1，2）内至少有一个零点，当g（x）在（-1，2）内无零点时，△=（6+m）2-16＜0或或，解得：-10≤m＜-2，

因此g（x）在（-1，2）内至少有一个零点时，m＜-10或m≥-2．