Question

【题目】设a为实数，函数f（x）=+a+a．

（1）设t=，求t的取值范图；

（2）把f（x）表示为t的函数h（t）；

（3）设f （x）的最大值为M（a），最小值为m（a），记g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表达式．

Answer 1

【答案】（1）[，2]； （2）h（t）=at+，≤t≤2； （3）g（a）=．.

【解析】

（1）将t=两边平方，结合二次函数的性质可得t的范围；（2）由（1）可得=，可得h（t）的解析式；（3）求得h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，讨论对称轴与区间[，2]的关系，结合单调性可得h（t）的最值，即可得到所求g（a）的解析式．

（1）t=，可得t2=2+2，

由0≤1-x2≤1，可得2≤t2≤4，

又t≥0可得≤t≤2，

即t的取值范围是[，2]；

（2）由（1）可得=，

即有h（t）=at+，≤t≤2；

（3）由h（t）=（t+a）2-1-a2，

对称轴为t=-a，

当-a≥2即a≤-2时，h（t）在[，2]递减，

可得最大值M（a）=h（）=a；最小值m（a）=h（2）=1+2a，

则g（a）=（-2）a-1；

当-a≤即a≥-时，h（t）在[，2]递增，

可得最大值M（a）=h（2）=1+2a；最小值m（a）=h（）=a，

则g（a）=（2-）a+1；

当＜-a＜2即-2＜a＜-时，h（t）的最小值为m（a）=h（-a）=-1-a2，

若-1-≤a＜-，则h（2）≥h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（2）=1+2a，

可得g（a）=2+2a+a2；

若-2＜a＜-1-，则h（2）＜h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（）=a，

可得g（a）=a+1+a2；

综上可得g（a）=．