Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若在上的最大值是，求的值；

（3）记,当时，若对任意，总有成立，试求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）增区间；减区间；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想探求；（3）借助题设构造函数,运用导数的有关知识分析探求.

试题解析：

（1）的定义域是..当时，,故在上是增函数; 当时，令，则（舍去）; 当时，,故在上是增函数;当时，,故在上是减函数.

（2）①当时，在上是增函数; 故在上的最大值是 ,显然不合题意. ②若, 即时, ,则在上是增函数，故在上的最大值是 ,不合题意，舍去.

③ 若, 即时，在上是增函数 ，在上是减函数，故在上的最大值是 , 解得，符合. 综合①、②、③得: .

（3）, 则,当时，,故时，当在上是减函数，不妨设，则，故等价于，即，记

，从而在上为减函数，由得:

,故恒成立，，又

在上单调递减，

,.故当时，的最大值为.