Question

【题目】已知函数， .

（1）若对于任意的， 恒成立，求实数的取值范围；

（2）若，设函数在区间上的最大值、最小值分别为、，记，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最小值为.

【解析】试题分析：（1）由变形得，构造函数，求导，根据单调性求出最大值，所以， ；（2），求出，对实数分情况讨论，得出在（1,2）上的单调性，求出最大值、最小值，再求出的最小值。

试题解析：

（1）因为对任意的恒成立，

所以.

令， ，则.

令，则.

当时， ， 在区间上单调递增；

当时， ， 在区间上单调递减.

所以，

所以，即，

所以实数的取值范围为.

（2）因为，

所以， .

所以.

令，则或.

①若，

当时， ， 在区间上单调递减；

当时， ， 在区间上单调递增.

又因为，

所以， ，

所以.

因为，

所以在区间上单调递减，

所以当时， 的最小值为.

②若，

当时， ， 在区间上单调递减；

当时， ， 在区间上单调递增.

又因为，

所以， .

因为，

所以在区间上单调递增.

所以当时， .

③若，

当时， ， 在区间上单调递减，

所以， .

所以，

所以在区间上的最小值为.

综上所述， 的最小值为.