Question

【题目】已知动圆恒过点，且与直线相切.

（1）求圆心的轨迹方程；

（2）若过点的直线交轨迹于， 两点，直线， （为坐标原点）分别交直线于点， ，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）分析题意，由抛物线的定义，可知圆心的轨迹为以为焦点， 为准线的抛物线，且，圆心C的轨迹方程为；（2）设，由A,P,B三点共线，求出，以MN为直径的圆的方程为，化简得，令，求出的值，求出弦长。

试题解析：

（1）由题意得，点与点的距离始终等于点到直线的距离.

因此由抛物线的定义，可知圆心的轨迹为以为焦点， 为准线的抛物线.

所以，即.

所以圆心的轨迹方程为.

（2）由圆心的轨迹方程为，

可设， ， ，

则， ，

由， ， 三点共线，可知，

即.

因为，所以.

又依题得，直线的方程为.

令，得.

同理可知.

因此以为直径的圆的方程可设为.

化简得，

即.

将代入上式，可知，

在上式中令，可知， ，

因此以为直径的圆被轴截得的弦长为，为定值.