Question

【题目】已知 函数f（x）=x3+（m﹣4）x2﹣3mx+（n﹣6）x∈R的图象关于原点对称，其中m，n为实常数．
（1）求m，n的值；
（2）试用单调性的定义证明：f（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数；
（3）当﹣2≤x≤2 时，不等式f（x）≥（n﹣logma）logma恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）即﹣x3+（m﹣4）x2+3mx+（n﹣6）=﹣x3﹣（m﹣4）x2+3mx﹣（n﹣6）恒成立，即（m﹣4）x2+（n﹣6）=0恒成立，∴m=4，n=6
（2）解：由（1）的f（x）=x3﹣12x，设﹣2≤x1＜x2≤2， ，

∵﹣2≤x1＜x2≤2，∴ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

即∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在[﹣2，2]上是减函数

（3）解：由（2）知f（x）在[﹣2，2]上是减函数，

则f（x）≥f（2）=﹣16﹣16≥（6﹣log4a）log4a，

∴（log4a﹣8）（log4a+2）≥0，

∴log4a≤﹣2或log4a≥8，

∴ 或a≥48

【解析】（1）利用函数的对称性，得到方程，转化求解m，n即可．（2）利用函数的单调性的定义直接证明即可．（3）利用函数的单调性结合函数的定义域，转化求解即可．