Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2，其中a＞0．

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证： .

Answer 1

【答案】（1）切线方程：y=x﹣1，（2）见解析，（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）当a=1时，求出f（1），然后得到取得坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程；（2）求出函数的导数，通过a的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数f（x）的单调性；（3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可．

（1）当a=1时，f（1）=0，f′（x）=+2（x﹣1），f′（1）=1，

曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程：y=x﹣1.

（2）∵f（x）=lnx+ax2﹣2ax+a （x>0）

①当△=4a2﹣8a≤0即0＜a≤2时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调递增区间是（0．+∞）．

②当△=4a2﹣8a＞0时，即a＞2时，令f′（x）=0得 ．

∴f（x）的单调递增区间是（x2，+∞）和（0，x1），单调递减区间是（x1，x2）．

（3）证明：∵f（x）在（x2，+∞）单调递增，且x2＜1，

∴f（x2）＜f（1）=0，不等式右侧证毕。′

∵f（x）有两个极值点x1，x2，∴a＞2．故 ，

令 ，

∴g（x）在（ ）单调递增． 故

不等式左侧证毕．综上可知： ．