Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ．

（1）若点P的坐标为（1，），且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；

（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）＋＝1；（2）[，5]

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，实质就是要求的值，为此要找两个关于的方程，本题由已知，把点坐标代入可得一个方程，由椭圆定义知的周长是，又可得值，从而得解；（2）本小题关键是建立起与离心率的关系，利用两点在椭圆上，由轴可求得，由＝λ，可求得点坐标，把点坐标代入椭圆方程，再转化后可得的关系（λ2＋4λ＋3）e2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，故有λ＝，从而可得的范围．

试题解析：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，

所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2的周长为4a．

由题意，得4a＝8，解得a＝2．

因为点P的坐标为（1，），所以，

解得b2＝3．

所以椭圆C的方程为．

（2）方法一：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）．

因为P在椭圆上，所以，解得y0＝，即P（c，）．

因为F1（－c，0），所以＝（－2c，－），＝（x1＋c，y1）．

由＝λ，得－2c＝λ（x1＋c），－＝λy1，

解得x1＝，y1＝－，所以Q（－c，－）．

因为点Q在椭圆上，所以（）2e2＋＝1，

即（λ＋2）2e2＋（1－e2）＝λ2，（λ2＋4λ＋3）e2＝λ2－1，

因为λ＋1≠0，

所以（λ＋3）e2＝λ－1，从而λ＝．

因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范围为[，5]．

方法二：因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．

因为P在椭圆上，所以，解得y0＝，即P（c，）．

因为F1（－c，0），故直线PF1的方程为．

由得（4c2＋b2）x2＋2b2cx＋c2（b2－4a2）＝0．

因为直线PF1与椭圆有一个交点为P（c，）．设Q（x1，y1），

则x1＋c，即－c－x1＝．

因为，

所以λ＝＝．

因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范围为[，5]．