Question

【题目】设函数f(x)＝a2x2(a＞0)，g(x)＝bln x.

（1）若函数y＝f(x)图象上的点到直线x－y－3＝0距离的最小值为2 ，求a的值；

（2）对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f(x)≥kx＋m和g(x)≤kx＋m都成立，则称直线y＝kx＋m为函数f(x)与g(x)的“分界线”．设a＝，b＝e，试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】试题分析：

(1)由题意结合导函数的性质得到关于实数的方程，解方程可得实数a的值为.

(2)构造函数，结合题意和函数的性质可得f(x)与g(x)的图象有公共点.由“分界线”的定义可得x2－2kx－e＋2k≥0在x∈R上恒成立．据此可得，然后结合导函数的性质证明恒成立即可．

试题解析：

(1)因为f(x)＝a2x2，所以f′(x)＝2a2x，

令f′(x)＝2a2x＝1，

得x＝，此时y＝，

则点到直线x－y－3＝0的距离为2，

即2＝，解得a＝ (负值舍去)．

(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－eln x(x＞0)，

则F′(x)＝x－＝＝.

所以当0＜x＜时，F′(x)＜0；当x＞时，F′(x)＞0.

因此x＝时，F(x)取得最小值0，

则f(x)与g(x)的图象在x＝处有公共点.

设f(x)与g(x)存在“分界线”，

方程为y－＝k(x－)，即y＝kx＋－k，

由f(x)≥kx＋－k在x∈R上恒成立，

则x2－2kx－e＋2k≥0在x∈R上恒成立．

所以Δ＝4k2－4(2k－e)＝4k2－8k＋4e＝4(k－)2≤0成立，因此k＝.

下面证明g(x)≤x－ (x＞0)恒成立．

设G(x)＝eln x－x＋，

则G′(x)＝－＝.

所以当0＜x＜时，G′(x)＞0；当x＞时，G′(x)＜0.

因此x＝时，G(x)取得最大值0，

则g(x)≤x－ (x＞0)成立．

故所求“分界线”方程为y＝x－.