Question

【题目】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴为，短半轴为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

(Ⅰ)求面积关于变量的函数表达式，并写出定义域；

(Ⅱ)求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（I）

，

其定义域为

（II）梯形面积的最大值为

【解析】试题分析：（1）建立平面直角坐标系，得椭圆标准方程，即满足的方程：(y≥0)，由于，可解得y＝2(0<x<r)．从而得梯形面积，其中；（2）要求最大值，可先求的最大值，这可由导数的知识求得解．

试题解析：（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图)，设点C的横坐标为x.

点C的纵坐标y满足方程(y≥0)，

解得y＝2(0<x<r)．

S＝(2x＋2r)2＝2(x＋r)·，

其定义域为{x|0<x<r}．

（2）记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r，

则f ′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．

令f ′(x)＝0，则x＝r.因为当0<x<时，f ′(x)>0；

当<x<r时，f ′(x)<0，所以f(r)是f(x)的最大值．

因此，当x＝r时，S取得最大值，最大值为＝r2，即梯形面积S的最大值为r2.