Question

【题目】函数是的奇函数， 是常数．

（1）求的值；

（2）用定义法证明是的增函数；

（3）不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：根据函数为奇函数，则f(-x)=-f(x)，可直接利用f(-1)=f(1),f(0)=0解出a,b的值，利用定义法证明函数的单调性，证明步骤为：①取值②作差③变形断号④给出结论；根据函数的单调性解不等式，解决恒成立的基本方法就是分离参数利用“极值原理”求出参数的取值范围.

试题解析：

（1） 是上的奇函数

.

（2）设，且，则

又

即

是上的增函数

（3）由题意得： 对任意恒成立

又是上的增函数

即对任意恒成立

令即对恒成立

令 对称轴为

当即时， 在为增函数， 成立

符合

当即时， 在为减， 为增

解得

综上

【点精】利用函数的奇偶性，求函数的解析式 ，当函数为奇函数时，则f(-x)=-f(x)，可直接利用f(-1)=f(1),f(0)=0解出a,b的值，当函数为偶函数时，利用f(-x)=f(x)求出参数，利用定义法证明函数的单调性，证明步骤为：①取值②作差③变形断号④给出结论；根据函数的单调性解不等式，解决恒成立的基本方法就是分离参数利用“极值原理”求出参数的取值范围.