Question

【题目】已知函数，记为的导函数.

（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；

（2）讨论的解的个数；

（3）证明：对任意的，恒有.

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析(3)详见解析

【解析】试题分析：（1）求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得；（2）由题意可得：，令，求出导数、单调区间和极值、最值，讨论的取值范围，即可得到解得个数；（3））令，利用导数可判断在单调递减，结合，可得结果.

试题解析：（1）由已知可得，函数的定义域为

，所以在点处的切线的斜率

又切线垂直于直线，所以，即，所以

（2）由（1）可得，令得，

令，则，所以在上单调递减，在上单调递增.

又当时，，当时，，当时，，

故当时，无解；

当时，有唯一解；

当时，有两解.

（3）令

在单调递减，又

.