Question

【题目】在四棱锥中，，，，，分别为的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）设，若平面与平面所成锐二面角，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)详见解析; (2).

【解析】试题分析：(1) 求证：平面ABE⊥平面BEF, 只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可, 注意到AB∥CD，CD⊥AD，AD = 2AB,而分别为的中点，可得四边形ABCD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．

试题解析：(Ⅰ)，分别为的中点，

为矩形，2分

∵DE=EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF

∵BF∩EF=F，∴AB⊥面BEF，又AE面ABE，

∴平面ABE⊥平面BEF． 4分

(Ⅱ),又，

又,所以面,6分

法一：建系为轴，为轴，为轴,

，,

平面法向量，平面法向量·9分

，可得. 12分

法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连,

则,面,,

作于点，所以面,

连,则,即为所求 9分

在中，,

解得12 分