Question

【题目】二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．

因为f（x+1）﹣f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x，所以 ，∴ ，

所以f（x）=x2﹣x+1

（2）解：由题意得x2﹣x+1＞2x+m在[﹣1，1]上恒成立．即x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立．

设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，其图象的对称轴为直线 ，所以g（x）在[﹣1，1]上递减．

故只需最小值g（1）＞0，即12﹣3×1+1﹣m＞0，

解得m＜﹣1

【解析】（1）先设f（x）=ax2+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用两方程相等对应项系数相等求a，b即可．（2）转化为x2﹣3x+1﹣m＞0在[﹣1，1]上恒成立问题，找其在[﹣1，1]上的最小值让其大于0即可．