Question

【题目】函数f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若m，n∈R+ ， ，求证：n+2m﹣f（x）＞0恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）＜0得f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|＜0，即|x+1|＜|x﹣2|，

平方得x2+2x+1＜x2﹣4x+4，即6x＜3，

得x＜ ，即不等式的解集为（﹣∞， ）．

（2）

解：∵n+2m+2=n+1+2m+1=（n+1+2m+1）（ + ）=4+1+ + ≥5+2 =5+4=9，

∴n+2m≥9﹣2=7，当且仅当+ = ，即n+1=2（2m+1）时取等号，

∴n+2m的最小值为7，

∵f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，

∴f（x）的最大值为3，

则n+2m＞f（x）恒成立，即n+2m﹣f（x）＞0恒成立．

【解析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据基本不等式的性质，利用1的代换，先求出n+2m的最小值，利用绝对值不等式的性质求出f（x）的最大值，进行比较即可．
【考点精析】掌握基本不等式是解答本题的根本，需要知道基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．