Question

【题目】在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为 （t为参数），l与C分别交于M，N，P（﹣2，﹣4）．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）已知|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），可得直角坐标方程：y2=2ax（a＞0）．

直线l的参数方程为 （t为参数），化为普通方程：y=x﹣2

（2）解：点P（﹣2，﹣4）在直线l上，可得直线l的标准方程： ，代入抛物线方程可得：m2﹣ m+4a+32=0，

△= ﹣4（4a+32）=2a2+16a＞0，（a＞0）．

∴m1+m2= ，m1m2=4a+32．

|PM|=m1，|PN|=m2，|MN|=|m1﹣m2|= = = ．

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，

∴|MN|2=|PM||PN|，

∴2a2+16a=m1m2=4a+32，化为：a2+6a﹣16=0，a＞0，

解得a=2．

【解析】（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），即ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x﹣2．（2）点P（﹣2，﹣4）在直线l上，可得直线l的标准方程： ，代入抛物线方程可得：m2﹣ m+4a+32=0，|PM|=m1 ， |PN|=m2 ， |MN|=|m1﹣m2|= ，由于|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，可得|MN|2=|PM||PN|，即可得出．