Question

【题目】已知函数f（x）= ，（a＞0）．
（1）当a=2时，证明函数f（x）不是奇函数；
（2）判断函数f（x）的单调性，并利用函数单调性的定义给出证明；
（3）若f（x）是奇函数，且f（x）﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2，2]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：当a=2时，f（x）= ，因为f（1）=0，f（﹣1）=﹣1，

所以f（﹣1）≠﹣f（1），

故f（x）不是奇函数

（2）证明：函数f（x）在R上为单调增函数，

证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ =

∵x1＜x2，∴ ＜0，且 ， ，

又∵a＞0，

∴1+a＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在R上为单调增函数

（3）证明：因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立．

即 + =0对任意x∈R恒成立．

化简整理得 对任意x∈R恒成立．

∴a=1

因为f（x）﹣x2+4x≥m在x∈[﹣2，2]时恒成立，

令g（x）=f（x）﹣x2+4x，设x1，x2∈[﹣2，2]，且x1＜x2，

则g（x1）﹣g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）]+（x1﹣x2）（4﹣x1﹣x2），

由（2）可知，f（x1）﹣f（x2）＜0，又（x1﹣x2）（4﹣x1﹣x2）＜0，

所以g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），

故函数g（x）=f（x）﹣x2+4x在x∈[﹣2，2]上是增函数…14分（直接判断出单调性也给分）

所以当x=﹣2时，函数g（x）取最小值﹣ ，

故m≤﹣ ，

因此m的取值范围是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）当a=2时，f（x）= ，根据f（﹣1）≠﹣f（1），可得函数f（x）不是奇函数；（2）函数f（x）在R上为单调增函数，取x1＜x2 ， 利用作差法，判断出f（x1）＜f（x2），再由函数单调性的定义，可得结论；（3）若f（x）是奇函数，可得a=1．令g（x）=f（x）﹣x2+4x，判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，进而可得实数m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．