Question

【题目】设a1=1，an+1= +b（n∈N*）
（1）若b=1，求a2 ， a3及数列{an}的通项公式；
（2）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1，an+1= +b，b=1，

∴a2=2，a3= +1；

又（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+1，

∴{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；

∴（an﹣1）2=n﹣1，

∴an= +1（n∈N*）；

（2）解：设f（x）= ，则an+1=f（an），

令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．

下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．

n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）= ﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；

设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1

∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，

∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，

∴1＞c＞a2k+2＞a2，

∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，

∴c＜a2k+3＜1，

∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，

综上，c= 使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立

【解析】（1）若b=1，利用an+1= +b，可求a2 ， a3；证明{（an﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（2）设f（x）= ，则an+1=f（an），令c=f（c），即c= ﹣1，解得c= ．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式和数学归纳法的定义的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能正确解答此题．