Question

【题目】如图，在底面为矩形的四棱锥中，，，且，其中分别是线段的中点。

（1）证明：平面

（2）证明：平面

（3）求：直线与平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】(1) 见证明；(2) 见证明；(3)

【解析】

1）在平面内找到一条直线与这条直线平行，再利用线面平行的判定定理说明线面平行。2）在平面内找到两条相交直线与这条直线垂直，再利用线面垂直的判定定理说明线面垂直。3）线面所成角的正弦值，几何法：过线上一点做平面的垂线段，垂线段与这点到线面交点线段的比值即为线面所成角的正弦值。

（1）证明：分别是线段的中点

在中，

又四边形是矩形，

直线平面，直线平面，平面

（2）证明：（法一）向量法

以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。

，

又因为，所以，平面

（法二）设，因为四边形是矩形，

，

又因为

因为

所以，，

因为所以，

因为，所以，平面

（3）取中点，连接，连接

因为是中点，所以在中，

又因为，所以

所以，

又因为，

所以，