Question

【题目】如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），是圆柱底面圆周上不与，重合的一个点.

（1）求证：无论点如何运动，平面平面；

（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题（I）欲证平面A1BC⊥平面A1AC，根据面面垂直的判定定理可知在平面A1BC内一直线与平面A1AC垂直，根据侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A，B重合一个点，则AC⊥BC，又圆柱母线AA1⊥平面ABC，BC属于平面ABC，则AA1⊥BC，又AA1∩AC=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AC，而BC属于平面A1BC，满足定理所需条件；

（II）设圆柱的底面半径为r，母线长度为h，当点C是弧AB的中点时，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，求出三棱锥A1﹣ABC的体积为，从而求出四棱锥A1﹣BCC1B1的体积，再求出圆柱的体积，即可求出四棱锥A1﹣BCC1B1与圆柱的体积比．

试题解析：

（1）由条件，为底面圆的直径，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点，所以，又圆柱母线平面，则，点，

所以平面，从而平面 平面；

（2）设圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的体积为，

当点是弧的中点时，为等腰直角三角形，面积为，

三棱锥的体积为，

三棱柱的体积为，

则四棱锥的体积为，

四棱锥与圆柱的体积比为．