Question

【题目】如图，已知四棱锥， 平面，底面中， ， ，且， 为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）问在棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出二面角的余弦值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：(1)要证平面平面，即证平面，即证：

(2) 存在点使平面，在内，过做垂足为，易知为二面角的平面角，从而得到结果.

试题解析：

方法一:（1）证明：∵平面， 平面，

∴. ∵为的中点，且梯形中， ，

∴

∵平面， 平面，且

∴平面.

平面， ∴平面⊥平面

（2）存在点使平面，在内，过做垂足为

由（1）平面， 平面， ，

， 平面

又平面， 平面 知 ，

∵平面平面

∴为二面角的平面角.

在中， ， ，

，

故二面角的余弦值为.

方法二:

∴以为原点，射线， ， 分别为， ， 轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图

，

， ， ， ， ， ，

为的中点，∴，

（1）

∴，

平面， 平面，且

∴平面.

平面， ∴平面⊥平面

（2）存在点使平面，在内，过做垂足为

由（1）平面， 平面， ，

， 平面

设平面的一个法向量为，

则，

，

取.

平面

是平面的一个法向量.

由图形知二面角的平面角是锐角，

故

所以二面角余弦值为