Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+bx﹣c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若在区间 内，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，f′（x）= +b，则f′（1）=1+b，

∵在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0，

∴切线斜率为﹣1，则1+b=﹣1，得b=﹣2，

将（1，f（1））代入方程x+y+4=0，

得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=﹣5，

∴f（1）=b﹣c=﹣5，将b=2代入得c=3，

故f（x）=lnx﹣2x﹣3

（2）解：依题意知函数的定义域是（0，+∞），且f′（x）= ﹣2，

令f′（x）＞0得，0＜x＜ ，令f′（x）＜0得，x＞ ，

故f（x）的单调增区间为（0， ），单调减区间为（ ，+∞）

（3）解：由f（x）≥2lnx+kx，k≤﹣2﹣ 在区间 内恒成立，

设g（x）=﹣2﹣ ，则g′（x）= ，

∴g（x）在区间 上单调递增，

∴g（x）的最小值为g（ ）=2ln2﹣8，

∴k≤2ln2﹣8

【解析】（1）由求导公式、法则求出f′（x），根据题意和导数的几何意义求出b的值，将（1，f（1））代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函数f（x）的解析式；（2）由（1）求出函数的定义域和f′（x），求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函数f（x）的单调区间；（3）由f（x）≥2lnx+kx，k≤﹣2﹣ 在区间 内恒成立，求出右边的最小值，即可得出结论．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．