Question

【题目】设函数f（x）= ，其中k＜﹣2．
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）= ，

要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，

即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，

则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，

∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，

由①解得x+1＞ 或x+1 ，即x＞ ﹣1或x ，

由②解得﹣ ＜x+1＜ ，即﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ ，

综上函数的定义域为（ ﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣ ）∪（﹣1﹣ ，﹣1+ ）

（2）解：f′（x）= =

=﹣ ，

由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+ ）（x+1﹣ ）（x+1）＜0

解得x＜﹣1﹣ 或﹣1＜x＜﹣1+ ，结合定义域知，x＜﹣1﹣ 或﹣1＜x＜﹣1+ ，

即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1，﹣1+ ），

同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣ ，﹣1），（﹣1+ ，+∞）

（3）解：由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，

则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，

∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0

即（x+1+ ）（x+1﹣ ）（x+3）（x﹣1）=0，

∴x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ 或x=﹣3或x=1，

∵k＜﹣6，

∴1∈（﹣1，﹣1+ ），﹣3∈（﹣1﹣ ，﹣1），

∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣ ）=f（﹣1+ ），

且满足﹣1﹣ ∈（﹣∞，﹣1﹣ ），﹣1+ ∈（﹣1+ ，+∞），

由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞

f（1）的集合为：

（ ）∪（﹣1﹣ ，﹣3）∪（1，﹣1+ ）∪（﹣1+ ，﹣1+ ）

【解析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．
【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法和函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．