Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn ， bn+1）在直线x﹣y+2=0上．
（1）求a1和a2的值；
（2）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
（3）设cn=anbn ， 求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an是Sn与2的等差中项

∴Sn=2an﹣2∴a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2

a1+a2=S2=2a2﹣2，解得a2=4

（2）解：∵Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，

又Sn﹣Sn﹣1=an，n≥2

∴an=2an﹣2an﹣1，

∵an≠0，

∴ =2（n≥2），即数列{an}是等比数列，∵a1=2，∴an=2n

∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，∴bn﹣bn+1+2=0，

∴bn+1﹣bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n﹣1

（3）解：∵cn=（2n﹣1）2n

∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，

∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1

因此：﹣Tn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）﹣（2n﹣1）2n+1，

即：﹣Tn=1×2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）2n+1，

∴Tn=（2n﹣3）2n+1+6

【解析】（1）先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1 ， 再把2代入即可求a2的值；（2）利用Sn=2an﹣2，可得Sn﹣1=2an﹣1﹣2，两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{bn}，直接利用点P（bn ， bn+1）在直线x﹣y+2=0上，代入得数列{bn}是等差数列即可求通项；（3）先把所求结论代入求出数列{cn}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．