Question

【题目】函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，证明： .

Answer 1

【答案】（1）（1）当时， 在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）当时, 在上是增函数；（iii）当时， 在是上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；（2）详见试题分析．

【解析】试题分析：（1）首先求函数的定义域， 的导数： ，再分， ， 三种情况，讨论函数的单调性；（2）先在（1）的基础上，当时，由的单调性得．同理当时，由的单调性得．下面再用数学归纳法证明．

（1）的定义域为．

（1）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．

（2）当时, 成立当且仅当在上是增函数．

（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．

（2）由（1）知，当时， 在是增函数．当时，，即．又由（1）知，当时， 在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．

（1）当时，由已知，故结论成立；

（2）假设当时结论成立，即．当时， ，即当时有，结论成立．根据（1）、（2）知对任何结论都成立．