Question

【题目】已知函数．

Ⅰ若函数在区间上为增函数，求a的取值范围；

Ⅱ若对任意恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

(1)g(x)的导数导数大于或等于0恒成立，转化成求不等式恒成立问题

(2) 求不等式恒成立问题转化成求最值问题，利用导数知识判断函数的单调性，从而求最值。

(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1.

∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，

即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．∴a≥－1－ln x.

令h(x)＝－ln x－1，∴a≥h(x)max，

当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)，

∴h(x)∈(－∞，－3]，∴a≥－3，

即实数a的取值范围是[－3，＋∞)．

(2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2xln x＋x2＋3，

又x＞0，∴m≤在x∈(0，＋∞)上恒成立．

记t(x)＝＝2ln x＋x＋.∴m≤t(x)min.

∵t′(x)＝＋1－＝＝，

令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍去)．

当x∈(0,1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0,1)上单调递减；

当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴t(x)min＝t(1)＝4.

∴m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.