Question

【题目】将个数，，…，的连乘积记为，将个数，，…，的和记为．（）

（1）若数列满足，，，设，，求；

（2）用表示不超过的最大整数，例如，，．若数列满足，，，求的值；

（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，且.

【解析】

（1）结合题意，处理得到，可以采取逐项消元法，计算结果，即可。（2）处理得到，求和，相互消去，即可。（3）结合题意，计算发现，故最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，建立关于n的等式，发现存在正整数n，即可。

解：（1）由，得,或

且，

所以．又，所以，．

从而=1.

（2）由，，因为，

所以，，

所以，，

因为，所以．

（3）若存在正整数n，则由已知得，

，且，

因此所求和的最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，且，共有个，

所以，,

所以，，解得．

所以存在正整数n=166，使得.