Question

【题目】设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．

（1）求椭圆与双曲线的方程；

（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；

（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为，双曲线的方程为；（2）详见解析.（3）见解析。

【解析】

（1）利用椭圆和双曲线的性质，结合焦点相同，建立方程，计算m值，即可。（2）设出直线方程，代入双曲线方程，建立等式，计算P的坐标，同理得到Q的坐标，结合，可以得到，发现直线PQ与x轴平行，故证之。（3）结合题意，设出直线AB的方程，代入椭圆解析式中，建立方程，计算出AB的中点M坐标，而M又在直线l上，代入，结合题目所提供的不等式，建立不等关系，即可得到b的范围。

解：（1）由题意，，所以．

所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．

（2）双曲线的右顶点为，因为，不妨设，则，

设直线的方程为，

由,得，

则,()，.

同理，，，

又，所以，.

因为，所以直线与轴平行，即为定值，倾斜角为0． ，

（3）设，，直线的方程为，

由整理得，

△，故．

，，

设的中点为，则，，

又在直线 上，所以，．

因为，，

所以

，所以．又，。

即.