Question

【题目】如图，在多面体中，底面是边长为的菱形， ，四边形是矩形，平面平面， ， 是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）;（3）.

【解析】试题分析：（1）由平面 平面，及 ，得 平面（平面与平面垂直的性质）；（2）建立适当的空间直角坐标系，求得平面的法向量的坐标及 ，可得 与平面所成角的夹角的正弦值；（3）由（2）的空间直角坐标，可求得 的法向量 ，平面 的法向量，得 ，由二面角为锐角，得所求二面角的值。

（1）证明：因为四边形是菱形，所以.

因为平面平面，且四边形是矩形，所以平面，

又因为平面，所以.

因为，所以平面.

（2）设，取的中点，连接，

因为四边形是矩形， 分别为， 的中点，所以，

又因为平面，所以平面，

由，得两两垂直,所以以为原点， 所在直线分别为轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系.

因为底面是边长为的菱形， ， ，

所以.

因为平面，所以平面的法向量.

设直线与平面所成角为，由，得

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）得， ， ，

设平面的法向量为，

所以即

令，得，由平面，得平面的法向量为，

则，

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的大小为.