Question

【题目】已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）．
（1）设bn=an+1+an（n∈N+），求证{bn}是等比数列；
（2）（i）求数列{an}的通项公式；
（ii）求证：对于任意n∈N+都有 + +…+ + ＜ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）证明：已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）．

则：an+1+an=3（an+an﹣1）

即： ，

所以： ，

数列{bn}是等比数列．

（2）解：（i）由于数列{bn}是等比数列．

则： ，

整理得：

所以：

则： 是以（ ）为首项，﹣1为公比的等比数列．

所以：

求得：

（ii）由于： ，

所以： ，

则：（1）当n为奇数时， ，

当n为偶数时， ，

所以： = …+ +

，

所以：n∈k时，对任意的k都有 恒成立

【解析】（1）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列．（2）（i）根据（1）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式．（ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．