Question

【题目】设椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为 的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：将点（0，4）代入椭圆C的方程得 =1，∴b=4，

由e= = ，得1﹣ = ，∴a=5，

∴椭圆C的方程为 =1

（2）解：过点（3，0）且斜率为 的直线为y= （x﹣3），

设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

将直线方程y= （x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，

由韦达定理得x1+x2=3，

y1+y2= （x1﹣3）+ （x2﹣3）= （x1+x2）﹣ =﹣ ．

由中点坐标公式AB中点横坐标为 ，纵坐标为﹣ ，

∴所截线段的中点坐标为（ ，﹣ ）

【解析】（1）椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为 ，求出a，即可得到椭圆C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为 的直线为y= （x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．