Question

【题目】如图，四边形与均为菱形， ，且.

（1）求证： 平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得，设与相交于点，由等腰三角形性质得,再根据线面垂直判定定理得平面；（2）先证明平面，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面法向量。利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系确定直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）设与相交于点，连接，

∵四边形为菱形，∴，且为中点，

∵，∴,

又，∴平面.

（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，

∵为中点，∴，又，∴平面.

∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，∵四边形为菱形， ，∴.

∵为等边三角形，∴.

∴，

∴.

设平面的法向量为，则，

取，得.

设直线与平面所成角为，

则.