Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点且不平行于轴的动直线与椭圆相交于两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点为.

【解析】试题分析：（1）由椭圆几何意义得，再根据圆心到切线距离等于半径得，解得， （2）先根据向量数量积化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人化简得，最后根据k的任意性确定点的坐标及定值

试题解析：（1）由题意知， ，解得，

则椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线,

联立，得，

∴.

假设轴上存在定点，使得为定值，

∴

.

要使为定值，则的值与无关，∴，

解得，此时为定值，定点为.