Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和倍后得到曲线.以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.

（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；

（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求此最小值.

Answer 1

【答案】（1）,（为参数）;（2）.

【解析】试题分析：（1）根据 将曲线的参数方程化为普通方程： ，再根据 将直角坐标方程化为极坐标方程；由图像变换可得曲线的参数方程是（2）先根据 将直线化为直角坐标方程，再根据点到直线距离公式得，利用三角函数有界性确定函数最小值，并确定取最小值时的值，进而确定点坐标.

试题解析：（1）由已知得曲线的直角坐标方程是，

所以曲线的极坐标方程是.

根据已知曲线的参数方程伸缩变换得到曲线的参数方程是（为参数）.

（2）设，由已知得直线的直角坐标方程是，

即，所以点到直线的距离

，

当即时， ，此时点的坐标是，

所以曲线上的一点 到直线的距离最小，最小值是.