Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2， ．M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．

（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；
（2）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；
（3）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．

又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．

因为AM底面ABC，所以BB1⊥AM，

又BB1∩BC=B，

所以AM⊥平面BB1C1C．

又因为AM平面APM，

所以平面APM⊥平面BB1C1C．

（2）解：取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C．

由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥A1A，且DM=A1A．

则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM．

又A1D平面APM，AM平面APM，所以A1D∥平面APM．

由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DN∥B1C．

又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MP∥B1C．

则DN∥MP．又DN平面APM，MP平面APM，所以DN∥平面APM．

由于A1D∩DN=D，所以平面A1DN∥平面APM．

由于A1N平面A1DN，所以A1N∥平面APM．

（3）解：假设BC1与平面APM垂直，

由PM平面APM，则BC1⊥PM．

设PB=x， ．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，

所以 ∽Rt△∠B1C1B，所以 ．

由已知 ，

所以 ，得 ．

由于 ，

因此直线BC1与平面APM不能垂直．

【解析】（1）由已知推导出AM⊥BC，BB1⊥底面ABC，BB1⊥AM，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面APM⊥平面BB1C1C．（2）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C，则四边形A1AMD为平行四边形，从而A1D∥AM，进而A1D∥平面APM；进一步推导出DN∥B1C，MP∥B1C，则DN∥MP，从而DN∥平面APM，进而平面A1DN∥平面APM，由此能证明A1N∥平面APM．（3）假设BC1与平面APM垂直，则BC1⊥PM．设PB=x， ．推导出 ，从而得到直线BC1与平面APM不能垂直．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．