Question

【题目】已知椭圆的离心率为，，分别是其左、右焦点，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若在直线上任取一点，从点向的外接圆引一条切线，切点为.问是否存在点，恒有？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) ，或

【解析】

（1）求出后可得椭圆的标准方程.

（2）先求出的外接圆的方程，设点为点为，则由可得对任意的恒成立，故可得关于的方程，从而求得的坐标.

解：（1）因为椭圆的离心率为，所以. ①

又椭圆过点，所以代入得. ②

又. ③

由①②③，解得.所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得，，的坐标分别是.

因为的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，

即的外接圆的圆心一定在轴上，

所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，

则由及两点间的距离公式，得，

解得.

所以圆心的坐标为，半径，

所以的外接圆的方程为，即.

设点为点为，因为，

所以，

化简，得，

所以，消去，得，

解得或.

当时，；

当时，.

所以存在点，或满足条件.