Question

【题目】已知抛物线的焦点为，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等。

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线交于两点，若，求实数的值。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）将抛物线上点的横坐标代入方程，求其纵坐标。因为抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，用坐标表示距离相等，整理得，进而求。（2）设， ，直线与抛物线方程联立消x得，得出。由，得，即，然后用坐标表示，可求的值。

试题解析：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为，到抛物线顶点的距离的平方为，

∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，

∴，

∴，

抛物线方程为： .

（2）由题意，直线，代入得， ，

设， ，则，

∵，∴，即，

可得： ，

∴，

∴，

解得： .