Question

【题目】已知一个动圆与已知圆Q1：(x＋2)2＋y2＝外切，与圆Q2：(x－2)2＋y2＝内切，(1) 试求这个动圆圆心的轨迹方程；(2)设直线与（1）中动圆圆心轨迹交于A、B两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由两圆位置关系得动圆圆心与Q1，Q2距离之和为定值，再根据椭圆定义确定轨迹为椭圆，最后根据定义中数值对应几何意义求a,b（2）先设直线方程y＝kx＋m，再根据O到直线的距离为得m2＝ (k2＋1)，由三角形面积公式知△AOB面积取最大值对应弦长AB取最大值，因此联立直线方程与椭圆方程，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦长公式求AB的长，最后根据基本不等式求弦长最值

试题解析：解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有

所以c＝，b＝1.所以所求椭圆方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①当AB⊥x轴时，|AB|＝.

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.

由已知＝，得m2＝ (k2＋1)．

把y＝kx＋m代入椭圆方程，

整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝

(1＋k2)＝

＝＝

3＋＝3＋ (k≠0)≤3＋＝4.

当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．

此时Δ＝12(3k2＋1－m2)＞0，

当k＝0或不存在时，|AB|＝，综上所述，|AB|max＝2.

所以当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值

S＝×|AB|max×＝.