【题目】已知二次函数满足，且．

（1）求的解析式；

（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程有区间上有唯一实数根，求实数的取值范围．

（注：相等的实数根算一个）．

参考答案：

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）设代入，两边等价，各项系数相等，所以，结合，可求得；（2）化简，要函数在上单调，则对称轴或，解得；（3）由方程得,令，利用判别式和二分法，分类讨论的取值范围.

试题解析：

（1）设代入得

对于恒成立，故，

又由得，解得，

所以；

（2）因为，

又函数在上是单调函数，故或，

解得或，

故实数的取值范围是；

（3）由方程得，

令，即要求函数在上有唯一的零点，

①，则，代入原方程得或3，不合题意；

②若，则，代入原方程得或2，满足题意，故成立；

③若，则，代入原方程得，满足题意，故成立；

④若且且时，由得，

综上，实数的取值范围是．

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