Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax+a（a∈R），其中e为自然对数的底数．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）函数y=f（x）的图象与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）两点，x1＜x2 ， 点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记 ，求at﹣（a+t）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ex﹣ax+a，f'（x）=ex﹣a，

①当a≤0时，则f'（x）＞0，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）是单调增函数．

②当a＞0时，令f'（x）=0，则x=lna，

若x＜lna，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，lna）上是单调减函数；

若x＞lna，f'（x）＞0，所以f（x）在（lna，+∞）上是单调增函数．

（2）解：由（1）可知当a＞0时，函数y=f（x）其图象与x轴交于两点，则有 ，则 ，则xi＞1（i=1，2）．

于是 ，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，所以 ，即y0=f（x0）＜0，

由直角三角形斜边的中线性质，可知 ，

所以 ，即 ，

所以 ，

即 ．

因为x1﹣1≠0，则 ，

又 ，所以 ，

即 ，则（a﹣1）（t﹣1）=2．

所以at﹣（a+t）=1．

【解析】（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f（x）的单调性区间；（2）由题意可知：C=90°，则 ，即y0=f（x0）＜0，然后得到关于参数a的方程 ，则 ，则（a﹣1）（t﹣1）=2．即可求得at﹣（a+t）=1．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．