Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ ，且f（ ）=0，当x＞ 时，f（x）＞0．
（1）求f（1）；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+ ，且f（ ）=0，

令y=x= ，得f（1）=f（ ）+f（ ）+ =

（2）解：设x＞0 则x+ ．

∴ ．

即f（x）＞﹣ ，

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＞x2

则x1﹣x2＞0

∴f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）+ ＞f（x2）

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数

【解析】（1）利用赋值法，令y=x= 即可求得f（1）的值；（2）由当x＞ 时，f（x）＞0，结合给出的等式得到当x＞0时，f（x）＞﹣ ，然后利用函数单调性定义，借助于题目给出的等式判断．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．