Question

【题目】若f（x）为二次函数，﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），

由f（0）=1可得c=1，

故方程f（x）﹣x﹣4=0可化为ax2+（b﹣1）x﹣3=0，

∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，

∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣ ，﹣1×3= ，

解得a=1，b=﹣1，故f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+1

（2）解：∵在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，

∴m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，

故只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，

由二次函数可知当x=﹣1时，函数g（x）取最大值5，

∴实数m的取值范围为（﹣∞，5）

【解析】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由题意和韦达定理待定系数可得；（2）问题转化为m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，由二次函数区间的最值可得．