Question

【题目】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，

令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．

详解：∵函数的定义域是（0，+∞），

∴f′（x）=．

x=1是函数f（x）的唯一一个极值点

∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．

∴ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，

令g（x）=ex﹣kx

g′（x）=ex﹣k

①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的

g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解

②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk

0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减

lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增

∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk

∴k﹣klnk＞0

∴k＜e，

由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），

综上所述，k≤e．

故答案为：A．