Question

【题目】已知函数（＞0， ≠1， ≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）当=1时，判断函数在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；

（3）若且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）由函数是奇函数， 对定义域内的所有自变量成立，可得对定义域内的都成立，可得，从而可求出实数的值；（2）先先根据单调性的定义判断并证明真数的单调性，分别两种情况讨论对数底数的范围，结合复合函数的单调性即可判断函数在上的单调性；（3）先根据得到的范围，再结合其为奇函数把转化为，利用第二问的单调性即可求出实数的取值范围.

试题解析：（1）∵函数是奇函数，∴

∴∴；∴

∴，

整理得对定义域内的都成立．∴．

所以或（舍去）∴．

（2）由（1）可得；令

设，则

∵∴， ∴．

当时，，即．

∴当时， 在（﹣1，1）上是减函数．

当时， ，即．

∴当时， 在（﹣1，1）上是增函数．

（3）∵， ∴，

由，得，

∵函数是奇函数， ∴，

故由（2）得在（﹣1，1）上是增函数，∴

解得∴实数的取值范围是。