Question

【题目】已知函数f（x）= ，直线y= x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．
（1）求实数a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣ }（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= 的导数为f′（x）= ，

设切点为（m，n），即有n= ，n= m，

可得ame=em，①

由直线y= x为曲线y=f（x）的切线，可得

= ，②

由①②解得m=1，a=1

（2）解：函数g（x）=min{f（x），x﹣ }（x＞0），

由f（x）= 的导数为f′（x）= ，

当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．

对x﹣ 在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣ 的交点为（x0，y0），

由f（1）﹣（1﹣1）= ＞0，f（2）﹣（2﹣ ）= ﹣ ＜0，即有1＜x0＜2，

当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣ ，

h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣ ﹣cx2，h′（x）=1+ ﹣2cx，

由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，

即有2c≤ + ，由y= + 在（0，x0）递减，

可得2c≤ + ①

当x≥x0时，g（x）= ，

h（x）=g（x）﹣cx2= ﹣cx2，h′（x）= ﹣2cx，

由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，

即有2c≤ ，由y= ，可得y′= ，

可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，

即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣ ．

可得2c≤﹣ ②，

由①②可得2c≤﹣ ，解得c≤﹣ ．

【解析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣ 的交点为（x0 ， y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣ 在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．