Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值；

（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，函数 (其中为函数的导数)的图像关于直线对称，求函数单调区间；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；(Ⅲ) .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由，得；（Ⅱ）的图象关于直线对称，故函数为偶函数，解得，分别令，即可得到单调区间；（Ⅲ）对任意的，都有恒成立可转化为在上恒成立，易知，∴在上恒成立，构造函数，只需即可.

试题解析：（Ⅰ）由有

因为在处取得极值，故

∴

经检验：当时，符合题意，故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

∵的图像关于直线对称，故函数为偶函数

又

∴，解得

∴

∴

令有或

令有或

∴函数在区间上单调递增，

在区间上单调递减.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，对任意的，都有恒成立可转化为

在上恒成立

易知∴在上恒成立

令，∴

令，∴

∴在上递减，上递增

∴

∴，即在上递增

∴

∴.